一步倒推思路

顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时，两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路简明实用。

例1 一只桶装满10千克水，另外有可装3千克和7千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把10千克水分为5千克的两份?

分析(用一步倒推思路考虑)：

(1)逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件?

因为有一只可装3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3+2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以关键是要先倒出一个2千克水。

(2)按条件顺推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克;第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，这时10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，这时7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克;第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，这时10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，这时7千克桶里无水，3千克桶里有水1千克;第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里(原有1千克水)，只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因为原有2千克水，这时也正好是5千克水了。

其思路可用下图(图2.6和图2.7)表示：

问题：

例2 今有长度分别为1、2、3……9厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形?

分析(仍可用一步倒推思路来考虑)：

(1)逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么?

根据题意，必须知道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。

(2)从条件顺推。

①因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了9条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为(1+2+……

②当边长为7厘米时，各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成，只有一种组成方法。

③当边长为8厘米时，各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成，也只有一种组成方法。

④当边长为9厘米时，各边分别由1+8、2+7、3+6及9;1+8、2+7、4+5及9;2+7、3+6、4+5及9;1+8、3+6、4+5及9;1+8、2+7、3+6及4+5共5种组成方法。

⑤当边长为10厘米时，各边分别由1+9、2+8、3+7及4+6组成，也只有一种组成方法。

⑤当边长为11厘米时，各边分别由2+9、 3+8、4+7及5+6组成，也只有一种组成方法。

⑥将上述各种组成法相加，就是所求问题了。

此题的思路图如下(图2.8)：

问题：