对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为()
A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)
(答案：D)。
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