(科目：051实变函数、复变函数)

第一部分 考试说明

本《实变函数、复变函数》考试大纲适用于贵州师范大学数学与计算机科学学院基础数学专业硕士研究生复试考试。实变函数、复变函数是大学数学系数学专业本科学生的主要专业课程之一。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。

1考试目的

《实变函数、复变函数》是我校数学与计算机科学学院招收全日制硕士研究生而设置的具有选拔性质的复试考试科目，其目的是考察学生是否具备本学科硕士研究生学习所要求的水平，为我校数学与计算机科学学院择优选拔硕士研究生提供依据。

2考试的基本要求

1）要求考生比较系统地理解实变函数与复变函数的基本概念和基本理论；2）掌握实变函数与复变函数的基本思想和方法；3）要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

3考试形式和试卷结构

1）答卷方式：闭卷，笔试。

2）答题时间：120分钟。

3）试卷成绩：100分。

4）各部分的考查比例：

实变函数 约50%

复变函数 约50%

5）题型：计算、证明

6）参考书目

[1] 周民强编《实变函数》，北京大学出版社，2008年第2版 .

[2]程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社，2003年第2版 .

[3] 钟玉泉编《复变函数论》，高等教育出版社， 2004年第3版.

第二部分 考查内容（或知识点）

1 实变函数

（1）集合

映射、单射、满射、双射，逆映射及其性质；对等及其性质；基数与基数的比较，伯恩斯坦定理；可数集的定义及等价条件，可列集及其性质；上限集、下限集的定义及判断证明。

（2）点集

邻域、内点、聚点、开集、闭集等基本概念；开集、闭集的性质；Bolzano-Weierstarss 定理，Borel 有限覆盖定理；直线上开集的构造；Cantor 集的构造及其性质。

（3）测度论

勒贝格外测度的定义及主要性质；勒贝格可测集的定义及其运算；勒贝格测度的可列可加性以及单调可测集列极限的测度；勒贝格可测集与开集、闭集、 型集与 型集之间的关系。

（4）可测函数

点集上的连续函数、函数列的上极限与下极限、“几乎处处”等

概念；可测函数的定义及其在代数运算与极限运算下的封闭性；可测函数可表为简单函数列的极限；可测函数列的一致收敛、几乎处处收敛及依测度收敛的概念及它们之间的相互关系；叶果洛夫定理、黎斯定理、鲁金定理。

（5）积分论

黎曼积分定义，达布定理；勒贝格积分的定义及其性质，勒贝格积分与黎曼积分的关系；勒贝格控制收敛定理、勒贝格逐项积分定理、列维定理、法都引理和富比尼定理。

2 复变函数

（1）复数与复变函数

复数的几种表示法，复数的运算及其三角不等式的应用；复平面，复平面的点集，区域；复变函数的概念及其性质。

（2）解析函数

复变函数可导与解析的概念，解析函数的C-R 条件及C-R 条件的应用；指数函数，对数函数，对数函数的分支和导数，对数函数的一些性质，复指数，三角函数，双曲函数，反三角函数和双曲函数。

（3）复变函数的积分

复积分的概念及其基本性质；柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，及其他们的作用；刘维尔定理、莫勒拉定理和代数基本定理；函数积分的计算。

（4）复变函数的级数

复数序列的收敛，复级数的收敛，泰勒级数，罗朗级数，复幂级数的绝对一致收敛；复幂级数和函数的连续性，幂级数的积分和微分，唯一性定理，幂级数的乘法和除法运算；函数展成罗朗级数的方法。

（5）留数和奇点

留数的概念，柯西的留数基本定理，孤立奇点的三种类型；极点的留数，解析函数的零点，零点与极点，孤立点附近的函数的属性；留数的应用，留数在计算某些实积分中的应用，辐角定理及儒歇定理。

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