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2013年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n²，n∈A｝,则A∩B= ( )

（A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝ （C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}

（2）= ( )

（A）-1 -i （B）-1 +i （C）1 +i （D）1 -i

（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 （ ）

（A）（B）（C）（D）

（4）已知双曲线C：= 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为 （ ）

（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x

（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是： （ ）

（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q

（6）设首项为1，公比为的等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，则 （ ）

（A）S_n=2a_n-1 （B）S_n=3a_n-2 （C）S_n=4-3a_n（D）S_n=3-2a_n

（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于

（A）[-3,4]

（B）[-5,2]

（C）[-4,3]

（D）[-2,5]

（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为

（A）2 （B）2（C）2（D）4

（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为

（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=

（A）10 （B）9 （C）8 （D）5

（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为

（A）18+8π （B）8+8π

（C）16+16π （D）8+16π

（12）已知函数f（x）=若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是

（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

（13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，则t=_____.

(14)设x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______.

（15）已知H是求O的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB⊥平面a，H为垂足，a截球o所得截面的面积为π，则求o的表面积为_______.

(16)设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=______.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知等差数列｛a_n｝的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=-5.

（Ⅰ）求｛a_n｝的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和

18（本小题满分共12分）

为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5

2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

19.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB,AB=A A₁,∠BA A₁=60⁰.

（Ⅰ）证明AB⊥A₁C;

（Ⅱ）若AB=CB=2, A₁C=,求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积

（20）（本小题满分共12分）

已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4

（Ⅰ）求a，b的值

（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值

(21)(本小题满分12分)

已知圆M：（x+1）2+y2=1,圆N：（x+1）2+y2=9,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.

（Ⅰ）求C得方程；

（Ⅱ）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长是，求|AB|.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。

（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C₁的参数方程为x=4+5cost，y=5+5sint，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C₁的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣2x-1∣+∣2x+a∣,g(x)=x+3.

（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x) ＜g(x)的解集；

（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[-,)时，f(x) ≤g(x),求a的取值范围.